どうも、オー雅です。毎年行われている数学オリンピック。毎年答えは一般公開されているのですが、その過程は公開されていません。2021年の問題は正答率を見てもわかる通り普段より難しくなっております。気になる人は公式サイトを調べてみてください。ここでは、私なりの3問目の解答を紹介しようと思います。
問題
図において\(AB\)の長さを求めよ。ただし、\(△ABC\)は\(AB=AC\)の二等辺三角形である。
解答
以下のように座標を設定する。ただし、\(a \geq 0, p \geq 0\)
そして、\(直線ABと直線AC\)の式を\(座標A,B,C\)から求めると、
$$AB:y=\frac{a}{7}x+a⇔ax-7y+7a=0$$
$$AC:y=-\frac{a}{7}x+a⇔ax+7y-7a=0$$
図より、\(AB\) と \(点P\) の距離は \(5\) , \(AC\) と \(点P\) の距離は \(2\) 。よって、以下の式が成り立つ。
$$\frac{|2a-7p+7a|}{\sqrt{a^2+49}}=5\quad\quad(1)$$
$$\frac{|2a+7p-7a|}{\sqrt{a^2+49}}=2\quad\quad(2)$$
\((1)\) 式を \((2)\) 式で割り、
$$\frac{|2a-7p+7a|}{|2a+7p-7a|}=\frac{5}{2}$$
$$\frac{|9a-7p|}{|-5a+7p|}=\frac{5}{2} \quad (3)$$
図より、\(a \geq p \geq 0\) であるから、\(9a-7p \geq 0\)
また、図の \(P’\) と \(P\) の \(y\) 座標を比べて、\(-\frac{2}{7}a+a \geq p \geq 0\) より、\(5a-7p \geq 0 \)
よって、 \((3)\) 式において絶対値を外すと、
$$\frac{9a-7p}{5a-7p}=\frac{5}{2}$$
$$⇔a=3p$$
\((1)\) 式に代入し、
$$\frac{20p}{\sqrt{p^2+49}}=5\quad$$
これを計算し、\(p=\sqrt7\)
そして、\(a=3p\) から、\(a=3\sqrt7\)
三平方の定理より、
$$AB=\sqrt{7^2+(3\sqrt{7})^2}=4\sqrt{7}$$
これが答え。
オー雅のコメント
色々方法はあると思いますが、座標に落として考えると経験上時間はかかりますが答えにはたどり着きやすいです。
今回はこれでおしまいです。お疲れさまでした。この問題に対する質問や感想、こちらの解き方はどうですか？などの提案、間違いの指摘等をコメント欄に書いていただけると嬉しいです。できる限り対応します。
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