どうも、オー雅です。毎年行われている数学オリンピック。毎年答えは一般公開されているのですが、その過程は公開されていません。2021年の問題は正答率を見てもわかる通り普段より難しくなっております。気になる人は公式サイトを調べてみてください。ここでは、私なりの7問目の解答を紹介しようと思います。
第7問
問題
以下の図において、辺 \(BC\) の長さを求めなさい。ただし、 \(AB=10\) , \(AC=11\) , \(BP=５\) , \(CQ=6\) 。そして、\(△ACP\) と \(△ABQ\) の垂心は一致している。
解答
以下のように座標を設定する。また、 \(OP=t\) , \(OQ=s\) , \(OA=r\) と置く。
\(△ABO\) と \(△ACO\) に三平方の定理を用いて、
$$10^2-(5+t)^2=11^2-(6+s)^2=r^2\quad(ⅰ)$$
直線 \(AQ\) の傾きは \( -\frac{r}{s}\) で、直線 \(BR\) は 直線 \(AQ\) と垂直である。よって、直線 \(BQ\) の傾きは、 \( \frac{s}{r}\) 。
また、直線 \(BR\) は \((-5-t , 0)\) を通る。以上より、直線 \(BR\) の式は
$$y=\frac{s}{r}x+(5+t)\frac{s}{r}$$
直線 \(AP\) の傾きは \( \frac{r}{t}\) で、直線 \(CR\) は 直線 \(AQ\) と垂直である。よって、直線 \(BQ\) の傾きは、 \( -\frac{t}{r}\) 。
また、直線 \(CR\) は \((6+s , 0)\) を通る。以上より、直線 \(CR\) の式は
$$y=-\frac{t}{r}x+(6+s)\frac{t}{r}$$
直線 \(BR\) と 直線 \(CR\) の切片は等しいので
$$ (5+t)\frac{s}{r} = (6+s)\frac{t}{r} $$
$$ ⇔5s=6t \quad(ⅱ) $$
(ⅰ) , (ⅱ) より、\(s\) に関する2次方程式を解いて、
$$s=-6+6 \sqrt{ \frac{21}{11} }$$
また、
$$t=-5+5 \sqrt{ \frac{21}{11} }$$
以上より、
$$BC=5+t+s+6=11-11+11 \sqrt{ \frac{21}{11} } =\sqrt{231}$$
これが答え
オー雅のコメント
第3問と同様に座標を駆使して解いてみました。垂直を使うことを考えるとベクトルを使うと導出しやすいかもしれませんね。
今回はこれでおしまいです。お疲れさまでした。この問題に対する質問や感想、こちらの解き方はどうですか？などの提案、間違いの指摘等をコメント欄に書いていただけると嬉しいです。できる限り対応します。
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